Question

数列{a_n}是递减的等差数列，{a_n}的前n项和是S_n，且S₆=S₉，有以下四个结论：
①a₈=0； 
②当n等于7或8时，S_n取最大值； 
③存在正整数k，使S_k=0；
④存在正整数m，使S_m=S_2m；
其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①②

B．①②③

C．②③④

D．①②③④

Answer 1

∵S₆=S₉，
∴a₇+a₈+a₉=0，
由等差数列性质得：3a₈=0，可得：a₈=0，选项①正确；
∵数列{a_n}是递减的等差数列，由已知a₁＞a₂＞…a₇＞a₈=0＞a₉…，
∴当n等于7或8时，s_n取最大值，选项②正确；
∵a₈=0，则S₁₅=

1

2

（a₁+a₁₅）×15=15a₈=0，
∴存在正整数k=15，使s_k=0，选项③正确；
由等差数列性质，S₁₀-S₅=a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀=5a₈=0，即S₁₀=S₅ ，
∴存在正整数m=5，使s_m=s_2m，选项④正确，
则其中所有正确结论的序号是①②③④．
故选D