Question

已知

2

3

≤a≤1，若f（x）=ax²-2x+1在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），已知g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的函数表达式．
（2）判断g（a）在[

2

3

，1]上的单调性，并证明．
（3）求出函数y=g（a）在[

2

3

，1]上的值域．

Answer 1

分析：（1）先判定二次函数的对称轴的范围，然后根据二次函数的性质可求出该函数的最值，从而求出g（a）的函数表达式．
（2）先求导函数，然后判定导函数在[

2

3

，1]上的符号，从而确定函数的单调性；
（3）利用（2）的结论可求出函数的最值，从而得到函数的值域．

解答：解：（1）函数f（x）=ax²-2x+1的对称轴为x=

1

a

∵

2

3

≤a≤1，
∴

1

a

∈[1，

3

2

]
∵函数f（x）=ax²-2x+1开口向上，对称轴x=

1

a

∈[1，

3

2

]
∴g（a）=M（a）-N（a）=f（3）-f（

1

a

）=9a+

1

a

-6．
（2）g′（a）=9-

1

a2

当a∈[

2

3

，1]时，g′（a）=9-

1

a2

＞0
∴g（a）在[

2

3

，1]上单调递增
（3）由（2）可知g（a）在[

2

3

，1]上单调递增
∴g（a）_min=g（

2

3

）=

3

2

，g（a）_max=g（1）=4
则函数y=g（a）在[

2

3

，1]上的值域为[

3

2

，4]

点评：本题主要考查了二次函数的性质，以及利用导数研究函数的单调性和值域，同时考查了计算能力，属于中档题．