题目内容

已知k∈Z，
AB
=（k，1），
AC
=（2，4），若|
AB
|≤4，则△ABC是直角三角形的概率是
 
．
分析：由题意，
AB
=（k，1），|
AB
|≤4由公式展开，根据k∈Z确定出向量的个数，然后求出向量
BC
的坐标，对三个角为直角的情况进行讨论，求出参数的可能取值，再计算概率
解答：解：由题意
AB
=（k，1），|
AB
|≤4，
故有k2+1≤16，又k∈Z，故有k的取值可能为-3，-2，-1，0，1，2，3有七种，即这样的三角形有七个，
又
AC
=（2，4），故向量
BC
=（2-k，3），
令
AB
•
AC
=0，得2k+4=0解得k=-2符合题意，
令
AB
•
BC
=0得2k-k2+3=0，解得k=-3，或k=1，符合题意，
令
AC
•
BC
=0，得4-2k+12=0解得k=8，不符合题意故舍，
故直角三角形的个数是3，
△ABC是直角三角形的概率是
3
7
；
故答案为：
3
7
．
点评：本题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是根据题设中的条件，判断出三角形的个数，及直角三角形的个数，再由等可能事件的概率公式求出概率．本题是一个向量与概率相结合的综合题，注意总结两个知识点的衔接．
练习册系列答案
相关题目
已知k∈Z，
AB
=(k，1)，
AC
=(2，4)，若|
AB
|≤
10
，则△ABC是直角三角形的概率是（　　）
A、
1
7
B、
2
7
C、
3
7
D、
4
7
已知k∈Z，
AB
=(k，1)，
AC
=(2，4)，若|
AB
|≤
10
，则△ABC是直角三角形的概率是
 
．
已知K∈Z，
AB
=（k，1），
AC
=（2，4），若|
AB
|≤
10
，则△ABC是直角三角形的概率是多少？
已知k∈Z，
AB
=（k，1），
AC
=（2，4）若|
AB
|≤
10
，则点A，B，C能组成以点A为直角顶点的直角三角形的概率为
1
7
1
7
．

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