Question

已知函数f（x）（x∈R）满足：对于任意实数x，y，都有f(x+y)=f(x)+f(y)+

1

2

恒成立，且当x＞0时，f(x)＞-

1

2

恒成立；
（1）求f（0）的值，并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数；
（2）判定函数f（x）在R上的单调性，并加以证明；
（3）若函数F（x）=f（max{-x，2x-x²}）+f（-k）+1（其中max{a，b}=

a，(a≥b) b，(a＜b)

）有三个零点x₁，x₂，x₃，求u=（x₁+x₂+x₃）+x₁•x₂•x₃的取值范围．

Answer 1

分析：（1）代入x=y=0，可求；
（2）根据函数的单调性的定义证明即可；
（3）根据抽象函数的性质，将函数有三个零点的条件转化为方程的根的判定，结合最值函数的图象，利用韦达定理根与系数的关系构造函数求解．

解答：解：（1）令x=y=0得：f（0+0）=f（0）+f（0）+

1

2

?f（0）=-

1

2

；
例：f（x）=x-

1

2

，验证：f（x+y）=x+y+

1

2

=（x-

1

2

）+（x-

1

2

）+

1

2

=f（x）+f（y）+

1

2

．
（2）判定f（x）在R上单调递增．
证明：任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）+

1

2

=f（x₂-x₁）+

1

2

，
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞-

1

2

，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₂）＞f（x₁），函数是增函数．
（3）由F（x）=0?f（max{-x，2x-x²}）+f（-k）+

1

2

=-

1

2

．
∴f（max{-x，2x-x²}+（-k））=f（0），
又由（2）知f（x）是R上的增函数
∴max{-x，2x-x²}+（-k）=0?k=max{-x，2x-x²}，
设g（x）=max{-x，2x-x²}，
则g（x）=

-x，x∈(-∞，0)∪(3，+∞) 2x-x2，  x∈[0，3]

F（x）有三个零点?k=max{-x，2x-x²}有三个解．如图，

当0＜K＜1时y=k与y=max{-x，2x-x²}的图象有三个不同的交点，横坐标依是x₁，x₂，x₃．
则x₁=-k，x₂，x₃ 是方程2x-x²=k的两根，则x₂+x₃=2，x₂•x₃=k．
∴u=2-k-k²，（0＜k＜1），
u=-(k+

1

2

)2+

9

4

，在（0，1）上单调递减，
∴u∈（0，2）
故u的取值范围是（0，2）

点评：本题考查函数的单调性、函数的最值、方程的根的存在性及根与系数的关系．