Question

设F₁，F₂分别是椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点

(1)若椭圆C上的点到F₁，F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；

(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，，求PQ的最大值；

(3)已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为K_PM、K_PN时，那么K_PM与K_PN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)椭圆的焦点在轴上，由椭圆上的点到两点的距离之和是4，得 　　即，又在椭圆上，，解得，于是 　　所以椭圆的方程是，焦点 　　设，则， 　　 　　又，当时， 　　类似的性质为：若是双曲线上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值． 　　设点，则点，其中，设点，则由， 　　，得，将代入上式得：