题目内容

设F1,F2分别是椭圆(a>b>0)的左、右焦点

(1)若椭圆C上的点到F1,F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;

(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点,,求PQ的最大值;

(3)已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为KPM、KPN时,那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质,并加以证明.

答案:
解析:

  解:(1)椭圆的焦点在轴上,由椭圆上的点两点的距离之和是4,得

  即,又在椭圆上,,解得,于是

  所以椭圆的方程是,焦点

  设,则

  

  又时,

  类似的性质为:若是双曲线上关于原点对称的两个点,点是双曲线上任意一点,当直线的斜率都存在,并记为时,那么之积是与点位置无关的定值.

  设点,则点,其中,设点,则由

  ,得,将代入上式得:


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