Question

设集合A=[1，b]（b＞1），f （x）=

1

2

（x-1）²+1 （x∈A），若f （x）的值域也为A，则b的值是

 

Answer 1

分析：由函数解析式求出对称轴x=1，判断在定义域上的单调性，根据函数的值域确定函数取最大值时的自变量的值，代入解析式求出b的值，注意验证范围．

解答：解：由题意知，函数f （x）=

1

2

（x-1）²+1 （x∈A），则对称轴x=1，
∴函数在定义域A=[1，b]上是增函数，
∵f （x）的值域也为A，∴

1

2

（b-1）²+1=b，即b²-4b+3=0，
解得b=1或b=3，因b＞1，故b=3．
故答案为：3．

点评：本题考查了二次函数的值域问题，即根据二次函数的性质，求出单调性并列出关于最大值的方程，进行求解注意验证范围．