Question

【题目】已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x﹣1）=﹣2x2+4x ，
（1）求f（x）解析式；
（2）求当x∈[a，a+2]，时，f（x）最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设f（x）=ax2+bx+c，

a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=﹣2x2+4x，

2ax2+2bx+2a+2c=﹣2x2+4x，

（2）解：f（x）=﹣（x﹣1）2+2，

①a+2＜﹣1即a＜﹣1，当x=a+2，f（x）max=﹣a2﹣2a+1；

②a≤1≤a+2即﹣1≤a≤1，当x=1，f（x）max=2；

③a＞1，当x=a，f（x）max=﹣a2+2a+1；

故

【解析】（1）因为函数为二次函数，设出解析式代入到f（x+1）+f（x﹣1）=﹣2x2+4x ， 求出f（x）的解析式即可；（2）因为此二次函数为开口向下的抛物线，讨论区间[a，a+2]在二次函数对称轴左边右边和之间三种情况得到函数的最大值即可．
【考点精析】利用函数的最值及其几何意义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．