Question

（2012•虹口区一模）已知函数f(x)=loga

1-m(x-1)

x-2

（a＞0，a≠1）．
（1）若m=-1时，判断函数f（x）在

2，+∞)

上的单调性，并说明理由；
（2）若对于定义域内一切x，f（1+x）+f（1-x）=0恒成立，求实数m的值；
（3）在（2）的条件下，当x∈

b，a

时，f（x）的取值恰为

1，+∞

，求实数a，b的值．

Answer 1

分析：（1）由于?(x)=

x

x-2

，单调递减，再由复合函数的单调性可得函数f(x)=loga

x

x-2

，在

2，+∞)

上的单调性．
（2）由f（1+x）+f（1-x）=0恒成立，可得m=±1，经检验，m=-1满足条件
（3）f（x）的定义域为（-∞，0）∪

2，+∞)

，分（b，a）⊆（-∞，0）和（b，a）⊆

2，+∞)

2种情况，根据f（x）的取值恰为

1，+∞

，求出实数a，b的值．

解答：解：（1）f(x)=loga

x

x-2

，任取x₂＞x₁＞2，记?(x)=

x

x-2

，
∴?(x1)-?(x2)=

-2(x1-x2)

(x1-2)(x2-2)

＞0，∴?（x）单调递减．
当a＞1时，f（x）在

2，+∞)

单调递减，
当0＜a＜1时，f（x）在

2，+∞)

单调递增．…（4分）
（2）由f（1+x）+f（1-x）=0恒成立，可得 loga

1-mx

x-1

+loga

1+mx

-x-1

=0，
得-m²x²=-x²，m=±1．…（8分）
∵当 m=1时，f（x）=loga

2-x

x-2

 无意义，∴m=-1，f（x）=loga

x

x-2

．…（10分）
（3）由于f（x）的定义域为（-∞，0）∪

2，+∞)

，
若（b，a）⊆（-∞，0），与a＞0矛盾，不合题意．…（12分）
若（b，a）⊆

2，+∞)

，∴2≤b＜a，由（1）知 f（x）为减函数．
 故值域

f(a)，f(b)

即为

1，+∞

，∴b=2…（15分）
又loga

a

a-2

=1，得a=3．…（16分）

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，函数的恒成立问题，属于中档题．