题目内容
18、已知当m∈R时,函数f(x)=m(x2-1)+x-a的图象和x轴恒有公共点,求实数a的取值范围.
分析:(1)当m=0时,f(x)为一次函数,它的图象与x轴恒有交点,得到a为全体实数;(2)当m≠0时,f(x)为二次函数,就是要求二次函数恒与x轴有交点,即y=0时的一元二次方程mx2+x-(m+a)=0恒有解即根的判别式4m2+4am+1恒大于等于0,即要它的根的判别式小于等于0得到关于a的不等式,求出解集即可得到a的取值范围.
解答:解:(1)m=0时,f(x)=x-a是一次函数,它的图象恒与x轴相交,此时a∈R.
(2)m≠0时,由题意知,方程mx2+x-(m+a)=0恒有实数解,其充要条件是△=1+4m(m+a)=4m2+4am+1≥0.
又只需△′=(4a)2-16≤0,解得-1≤a≤1,即a∈[-1,1].
∴m=0时,a∈R;m≠0时,a∈[-1,1].
(2)m≠0时,由题意知,方程mx2+x-(m+a)=0恒有实数解,其充要条件是△=1+4m(m+a)=4m2+4am+1≥0.
又只需△′=(4a)2-16≤0,解得-1≤a≤1,即a∈[-1,1].
∴m=0时,a∈R;m≠0时,a∈[-1,1].
点评:考查学生灵活运用一次函数和二次函数的图象与性质解决数学问题,会利用根的判别式判断二次函数与x轴的交点个数.掌握函数与方程的综合运用.
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