题目内容
【题目】已知函数f(x)=(x-3)ex+ax,aR
(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)当a[0,e)时,设函数f(x)在(1,+)上的最小值为g(a),求函数g(a)的值域.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,计算 ,求出切线方程即可;(2)设
,得到
在
上有唯一零点,
根据函数的单调性求出
,从而求出
的值域即可.
试题解析: 由题意得,
(Ⅰ)当时,
,所以
,
又因为,
则所求的切线方程为,即
.
(Ⅱ)设,则
对于
成立,
所以在
上是增函数,又因为
,则
,
,
所以在
上有唯一零点
(
).
则函数在
上单调递减,在
上单调递增,
因此当时,函数
在
上的最小值为
.
因为,则
,当
时,有
.
所以函数有最小值
,
令(
),
则在
上恒成立,所以
在
上单调递减,
因为,
,所以
的值域为
,
所以的值域为
.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性,属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是:(1)求出在
处的导数,即
在点
出的切线斜率(当曲线
在
处的切线与
轴平行时,在 处导数不存在,切线方程为
);(2)由点斜式求得切线方程
.
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