Question

如图所示，已知直线l：3x+4y-12=0与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，直线l₁和AB，OA分别交于C，D，且平分△AOB的面积，求CD的最小值．

Answer 1

分析：先设设AD=m，AC=n，由三角形的面积得到mn的值，再表示出|CD|的表达式结合基本不等式的内容可求得线段CD长度的最小值．

解答：解：令y=0，x=4．
∴A（4，0），令x=0，y=3，
∴B（0，3）S△AOB=

1

2

•4•3=6，∴S△ACD=

1

2

S△AOB=3．
设AD=m，AC=n，则sinA=

OB

AB

=

3

5

．S△ACD=

1

2

mnsinA=3，∴

1

2

mn

3

5

=3，∴mn=10.CD2=m2+n2-2mncosA=m2+n2-2×10×

4

5

=m²+n²-16≥2mn-16=4．
∴CD≥2，当m=n=

10

时，CD有最小值为2．

点评：本题主要考查三角函数中余弦值的求法和余弦定理的应用、基本不等式的应用．考查基础知识的综合应用和灵活应用．三角函数题以基础为主，要强化其基础题得复习．