题目内容

在学习二项式定理时，我们知道杨辉三角中的数具有两个性质：①每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，…；②图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．我们也知道，性质①对应于组合数的一个性质：cnm=Cnn-m．
（1）试写出性质②所对应的组合数的另一个性质；
（2）请利用组合数的计算公式对（1）中组合数的另一个性质作出证明．
分析：性质②所对应的组合数的另一个性质是
C
m
n+1
=
C
m
n
+
C
m-1
n
，利用组合数公式进行证明即可．
解答：解：（1）性质②所对应的组合数的另一个性质是
      
C
m
n+1
=
C
m
n
+
C
m-1
n
   
（2）因为
C
m
n+1
=
(n+1)!
m!(n+1-m)!

     
C
m
n
+
C
m-1
n
=
n!
m!(n-m)!
+
n!
(m-1)!(n+1-m)!
                 
=
n![(n+1-m)+m]
m!(n+1-m)!
=
n!(n+1)
m!(n+1-m)!
=
(n+1)!
m!(n+1-m)!

所以
C
m
n+1
=
C
m
n
+
C
m-1
n
点评：本题考查了组合数的性质及其证明，考查组合数公式的应用．
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在学习二项式定理时，我们知道杨辉三角中的数具有两个性质：①每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，……；②图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．我们也知道，性质①对应于组合数的一个性质：．

(1)试写出性质②所对应的组合数的另一个性质；

(2)请利用组合数的计算公式对(1)中组合数的另一个性质作出证明．
在学习二项式定理时，我们知道杨辉三角中的数具有两个性质：①每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，…；②图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．我们也知道，性质①对应于组合数的一个性质：cnm=Cnn-m．
（1）试写出性质②所对应的组合数的另一个性质；
（2）请利用组合数的计算公式对（1）中组合数的另一个性质作出证明．

（本题共2小题，第一小题4分，第二小题8分，共12分）

在学习二项式定理时，我们知道杨辉三角中的数具有两个性质：① 每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，；② 图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．我们也知道，性质①对应于组合数的一个性质：．

（1）试写出性质②所对应的组合数的另一个性质；

（2）请利用组合数的计算公式对（1）中组合数的另一个性质作出证明．

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