Question

已知f(x)=log_a(a>0且a≠1).
(1)求函数的定义域；
(2)讨论函数的单调性；
(3)求使f(x)>0的x的取值范围.

Answer 1

(1)由>0得-1<x<1.
∴函数的定义域为(-1,1).
(2)对任意-1<x₁<x₂<1,
<0，∴.
当a>1时，log_a<log _a，即f(x₁)<f(x₂)；
当0<a<1时，log_a>log_a，即f(x₁)>f(x₂).
∴当a>1时，f(x)为(-1，1)上的增函数；
当0<a<1时，f(x)为(-1，1)上的减函数.
(3)log_a>0=log_a1.
当a>1时，>1，即-1=>0.
∴2x(x-1)<0.∴0<x<1.
当0<a<1时，解得-1<x<0.
∴当a>1时，f(x)>0的解为(0，1)；
当0<a<1时，f(x)>0的解为(-1，0).

注意对数函数的底和真数的制约条件以及底的取值范围对单调性的影响.