Question

已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时，．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明之．

Answer 1

【答案】分析：（1）设-1＜x＜0，则0＜-x＜1，利用已知表达式求出f（-x），再由奇函数的性质可求f（x），f（0）=0，从而可得f（x）的解析式；
（2）任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，比较f（x₂）与f（x₁）的大小，若f（x₂）＞f（x₁），则为增函数，若f（x₂）＜f（x₁），则为减函数．
解答：解：（1）设-1＜x＜0，则0＜-x＜1，
故，
又f（x）为奇函数，所以，
由于奇函数f（x）的定义域为（-1，1），所以f（0）=0，
所以，f（x）=．
（2）解：f（x）在（0，1）上单调递增．
证明：任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
则，
因为y=2^x在x∈R上递增，且0＜x₁＜x₂，
所以，
因此f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在（0，1）上单调递增．
点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，定义是解决有关问题的基本方法．