题目内容

在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5.

（Ⅰ）证明：SC⊥BC；

（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求三棱锥的体积VS－ABC.

答案：
解析：

（Ⅰ）证明：∵∠SAB=∠SAC=90°，  ∴SA⊥AB，SA⊥AC.

又AB∩AC=A，  ∴SA⊥平面ABC.

由于∠ACB=90°，即BC⊥AC， 

由三垂线定理，得SC⊥BC.

（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC

∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角.

在Rt△SCB中，BC=5，SB=5. 

得SC==10

在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA=

∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°.

（Ⅲ）解：在Rt△SAC中，

∵SA=.

S△ABC=·AC·BC=×5×5=.

∴VS－ABC=·S△ACB·SA=.


练习册系列答案
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精英家教网如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为边长为1的等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）证明：SA⊥BC；
（Ⅲ）求三棱锥S-ABC的体积．
精英家教网如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．
精英家教网如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB⊥底面ABC，且∠ASB=∠ABC=90°，AS=SB=2，AC=2
3
．

（Ⅰ）求证SA⊥SC；
（Ⅱ）在平面几何中，推导三角形内切圆的半径公式r=
2S
l
（其中l是三角形的周长，S是三角形的面积），常用如下方法（如右图）：
①以内切圆的圆心O为顶点，将三角形ABC分割成三个小三角形：△OAB，△OAC，△OB精英家教网C．
②设△ABC三边长分别为a，b，c．由S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，
得S=
1
2
ar+
1
2
br+
1
2
cr=
1
2
lr，则r=
2S
l
．
类比上述方法，请给出四面体内切球半径的计算公式（不要求说明类比过程），并利用该公式求出三棱锥S-ABC内切球的半径．
如图，在三棱锥S-ABC中，SA=AB=BC=AC=
2
SB=
2
SC，O为BC中点．
（1）求证：SO⊥平面ABC
（2）在线段AB上是否存在一点E，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值为
15
5
？若存在，确定E点位置；若不存在，说明理由．
在三棱锥S-ABC中，侧棱SC⊥平面SAB，SA⊥BC，侧面△SAB，△SBC，△SAC的面积分别为1，
3
2
，3，则此三棱锥的外接球的表面积为（　　）

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