Question

（本题满分14分）数列是首项为，公差为的等差数列，若数列中任意不同的两项之和仍是该数列的一项，则称该数列是“封闭数列”

（1）试写出一个不是“封闭数列”的等差数列的通项公式，并说明理由；

（2）求证：数列为“封闭数列”的充分必要条件是存在整数，使。

Answer 1

解（1）如数列不是“封闭数列”，---1分

，    -------------------2分

依题，，使                --------------3分

即，            --------------4分

这与矛盾

所以数列不是封闭数列；--------------5分

法二：数列不是“封闭数列”       ---1分

对任意的，有

         -------------------2分

依题，，使  --------------3分

即

得                           -------------4分

，，而  ，矛盾

所以数列不是封闭数列； ------------5分

（只要写出的通项公式能满足存在整数，使，就不合）

（2）证明：（充分性）若存在整数，使，则任取等差数列的两项，于是

  --------2分

由于为正整数，        -------------------3分

，是封闭数列                                 -- ----4分

（必要性）任取等差数列的两项，若存在使，

则    --------------------6分

故存在，使，               --------------------7分

下面证明。

当时，显然成立。                                --------------------8分

对，若，则取，对不同的两项和，存在使+＝，

即，这与矛盾，

故存在整数，使。               --------------------------9分