Question

某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人．某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人．该兴趣小组想找一个函数y=f（x）来拟合该景点对外开放的第x（x≥1）年与当年的游客人数y（单位：万人）之间的关系．
（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述函数y=f（x）所具有的性质；
（2）若f（x）=

m

x

+n，试确定m，n的值，并考察该函数是否符合上述两点预测；
（3）若f（x）=a•b^x+c（b＞0，b≠1），欲使得该函数符合上述两点预测，试确定b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）预测①描述的是函数的单调性，预测②描述的是函数的最值，可以转化成恒成立来描述，从而可以从单调性和恒成立来描述；
（2）根据题意可知，点（1，100）和（2，120）均在函数f（x）上，代入即可求得m，n的值，确定函数f（x）=-

40

x

+140，根据反比例函数的性质，即可确定f（x）的单调性，和f（x）的取值范围，对应预测①②，即可判断出答案；
（3）根据题意可知，点（1，100）和（2，120）均在函数f（x）上，代入即可求得a与b的关系，c与b的关系，将a和c都用b来表示，得到f（x）的解析式，要满足预测①，则f′（x）＞0，确定出两种情况，对两种情况分别研究预测②的恒成立问题，即可求得实数b的取值范围．

解答：解：（1）预测①：f（x）在[1，+∞） 上单调递增；
预测②：f（x）＜130 对x∈[1，+∞） 恒成立；                            
（2）将（1，100）、（2、120）代入到y=

m

x

+n 中，得

100=m+n 120= m 2 +n

，
解得

m=-40 n=140

，
∵f（x）=-

40

x

+140，
∴f′（x）=

40

x2

＞0，
故f（x）在[1，+∞） 上单调递增，符合预测①；                          
又当x≥4 时，f（x）=-

40

x

+140≥130，
∴此时f（x）不符合预测②；
（3）∵f（x）=a•b^x+c（b＞0，b≠1），
将（1，100）、（2、120）代入到f（x）=a•b^x+c，
∴

100=ab+c 120=ab2+c

，解得

a= 20 b(b-1) c=100- 2 b-1

，
∴f′（x）=ab^xlnb，要想符合预测①，则f′（x）＞0，
∴alnb＞0，
∴

a＞0 b＞1

或

a＜0 0＜b＜1

，
[1]当b＞1时，a=

20

b(b-1)

＞0，此时符合预测①，
但由f（x）≥130，解得x≥logb(

3

2

b2-

b

2

)，
即当x≥logb(

3

2

b2-

b

2

)时，f（x）≥130，
∴此时f（x）不符合预测②；
[2]当0＜b＜1，a=

20

b(b-1)

＜0，此时符合预测①，
又由x≥1，知b^x∈（0，b]，
∴abx∈[ab，0），
∴f（x）∈[ab+c，c），
要使得f（x）也符合预测②，则c≤130，
∴100-

20

b-1

≤130，
又0＜b＜1，解得0＜b≤

1

3

．
综上所述，b的取值范围是（0，

1

3

]．

点评：本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．本题考查了运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．属于中档题．