Question

在正项等比数列a_n中，a₁＜a₄=1，若集合A={n|(a1-

1

a1

)+(a2-

1

a2

)+…+(an-

1

an

)≤0，n∈N*}，则集合A中元素的个数为

 

．

Answer 1

分析：设公比为q，根据a₁＜a₄=1?a₁=q^-3，则（a1-

1

a1

）+（a2-

1

a2

）+…+（an-

1

an

）=

a1(qn-1)

q-1

-

1 a1 (1- 1  qn )

1- 1 q

然后化简并将a₁=q^-3，并化简，得出 q^n-7-1≤0，就可以求出结果．

解答：解：设公比为q
∵a₁＜a₄=a₁q³=1
∴0＜a₁＜1  1＜q³  q＞1     ①
∴a₁=q^-3        ②
∴（a1-

1

a1

）+（a2-

1

a2

）+…+（an-

1

an

）
=（a1+a2+…+an）-（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）  （后一个首项

1

a1

，公比

1

q

）
=

a1(qn-1)

q-1

-

1 a1 (1- 1 qn )

1- 1 q

=[（q^n-1）/a（q-1）q^n-1）][a₁²q^n-1-1]
代入②
原式=[q^n-1/a（q-1）q^n-1]•[q^n-7-1]≤0
∵q^n-1/a（q-1）q^n-1＞0
∴q^n-7-1≤0
q^n-7≤1
∴n-7≤0
解得n≤7
故答案为7．

点评：本题考查等比数列的性质，化简计算是本题的关键，属于中档题．