Question

已知圆直线与圆相切，且交椭圆于两点，是椭圆的半焦距，，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）O为坐标原点，若求椭圆的方程；
(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，设椭圆的左右顶点分别为A，B，动点，直线AS，BS与直线分别交于M,N两点，求线段MN的长度的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）椭圆的方程为；(Ⅲ).

试题分析：（Ⅰ）直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径.设圆的圆心为半径分别为，直线的方程为.若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，将已知条件代入这个公式，即可得的值.
(Ⅱ)将代入得：得关于的二次方程.设则是这个方程的两个根.因为，所以，再结合韦达定理，可得一个含的等式，与联立解方程组即可求得的值.
(Ⅲ)思路一、在（Ⅱ）的条件下，椭圆的方程为：，动点，则将其代入椭圆方程，便得：①.设，，则.两式相乘再利用①式可消去得，再用重要不等式便可得线段MN的长度的最小值.
思路二、选定一个量作为变量，其余的量都用这个量来表示，最终用这个量表示出线段MN的长度.
那么选哪 一个量作为变量呢？显然直线AS的斜率存在，设为且，然后用表示出点的坐标，从而表示出线段MN的长度.再用重要不等式便可得线段MN的长度的最小值.
试题解析：（Ⅰ）直线与圆相切,所以   4分
(Ⅱ) 将代入得：
得:        ①
设则
   ②
因为
由已知代人②
所以椭圆的方程为                              8分
(Ⅲ)法一、在（Ⅱ）的条件下，椭圆的方程为：，将动点的坐标代入椭圆方程，便得：                     ①
设，，则.两式相乘得     ②
由①得：，代入②得：，显然异号.
所以线段MN的长度，当时取等号.
法二、显然直线AS的斜率存在，设为且则
依题意，由得：
设则即
，又B（2，0）所以  BS：
由 
所以时：                                12分