Question

9．数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+1+a_n=3n-54（n∈N^*）
（1）若a₁=-20，求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：当a₁＞-27时，存在自然数m，使得当n=m时，S_n与|a_n+1+a_n|都取得最小值，并求出此时m的值．

Answer 1

分析 （1）利用题设递推式表示出a_n+2+a_n+1，两式相减求得a_n+2-a_n为常数，进而判断出a₁，a₃，a₅，与a₂，a₄，a₆，都是d=3的等差数列，进而分别看n为奇数和偶数时利用叠加法和等差数列求和公式求得答案．
（2）由已知可得，当n=18时，|a_n+1+a_n|取得最小值0，然后分n为偶数和奇数求出S_n，利用配方法求出S_n的最小值并得到取最小值时的n值，则自然数m的值可求．

解答 （1）解：∵$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}+{a}_{n}=3n-54}\\{{a}_{n+2}+{a}_{n+1}=3n-51}\end{array}\right.$，两式相减得a_n+2-a_n=3，
∴a₁，a₃，a₅，…，与a₂，a₄，a₆，…都是d=3的等差数列，
∵a₁=-20
∴a₂=-31，
①当n为奇数时，a_n=-20+（$\frac{n+1}{2}-1$）×3=$\frac{3n-43}{2}$；
②当n为偶数时，an=-31+（$\frac{n}{2}-1$）×3=$\frac{3n-68}{2}$．
（2）证明：n=18时，|a_n+1+a_n|有最小值0；
当n为偶数时，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）
=3×1-54+3×3-54+3×5-54+…+3（n-1）-54
=$3•\frac{（1+n-1）•\frac{n}{2}}{2}-\frac{n}{2}•54$=$\frac{3}{4}{n}^{2}-27n$=$\frac{3}{4}（n-18）^{2}-243$，
∴当n=18时，（S_n）_min=-243；
当n为奇数时，S_n=a₁+（a₂+a₃）+…+（a_n-1+a_n）=$\frac{3}{4}$n²-27n+$\frac{105}{4}$+a₁=$\frac{3}{4}$（n-18）²-216$-\frac{3}{4}$+a₁，
∴当n=17或19时（S_n）_min=a₁-216＞-243；
综上，当n=18时（S_n）_min=-243．
∴当a₁＞-27时，有相同的n=m=18，使S_n与|a_n+1+a_n|都取最小值．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差数列的前n项和，训练了等差数列前n项和最值的求法，考查了数列的函数特性，是中档题．