题目内容
已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：
（Ⅰ）求C1、C2的标准方程；
（Ⅱ）若过曲线C1的右焦点F2的任意一条直线与曲线C1相交于A、B两点，试证明在x轴上存在一定点P，使得
•
的值是常数．
| x | 3 | -2 | 4 |
| ||||||
| y | -2
|
0 | -4 |
|
（Ⅱ）若过曲线C1的右焦点F2的任意一条直线与曲线C1相交于A、B两点，试证明在x轴上存在一定点P，使得
| PA |
| PB |
分析：（Ⅰ）验证4个点知（3，-2
），（4，-4）在抛物线上，（-2，0），（
，
）在椭圆上，由此可求C1、C2的标准方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用
•
=（xA-t）（xB-t）+yAyB，即可求得结论．
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
（Ⅱ）分类讨论，利用
| PA |
| PB |
解答：解：（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有
=2p(x≠0)，
据此验证4个点知（3，-2
），（4，-4）在抛物线上，∴C2的标准方程为y2=4x．…（2分）
设C1：
+
=1(a＞b＞0)，把点（-2，0），（
，
）代入得：
，解得
．
∴C1的标准方程为
+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）①当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y=k（x-
），代入椭圆方程，消去y可得（1+4k2）x2-8
k2x+12k2-4=0，则
xA+xB=
，xAxB=
．…（8分）
设点P（t，0），则
•
=（xA-t）（xB-t）+yAyB=
．…（10分）
当
=
，即t=
时，对任意k∈R，
•
=-
．…（12分）
②当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=
，xA=xB=
，yAyB=-
．
若t=
，则
•
=（xA-t）（xB-t）+yAyB=-
故存在x轴上的点P（
，0），使得
•
的值是常数-
．…（13分）
| y2 |
| x |
据此验证4个点知（3，-2
| 3 |
设C1：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
| ||
| 2 |
|
|
∴C1的标准方程为
| x2 |
| 4 |
（Ⅱ）①当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y=k（x-
| 3 |
| 3 |
xA+xB=
8
| ||
| 1+4k2 |
| 12k2-4 |
| 1+4k2 |
设点P（t，0），则
| PA |
| PB |
t2-4+(11-8
| ||
| 1+4k2 |
当
| t2-4 |
| 1 |
11-8
| ||
| 4 |
9
| ||
| 8 |
| PA |
| PB |
| 13 |
| 64 |
②当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
若t=
9
| ||
| 8 |
| PA |
| PB |
| 13 |
| 64 |
故存在x轴上的点P（
9
| ||
| 8 |
| PA |
| PB |
| 13 |
| 64 |
点评：本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
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已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
则C1、C2的标准方程分别为 、 ．
| C1 | C2 | |||||||||
| x | 2 |
|
4 | 3 | ||||||
| y | 0 |
|
4 | -2
| ||||||