Question

若一个关于x与y之间的运算P(x,y)同时满足：

①非负性：P（x,y)≥0等于当且仅当x=y时成立；

②交换律：P(x,y)=P(y,x);

③三角不等式：P（x,z)≤P(x,y)+P(y,z),则称P(x,y)为x,y之间的距离.给出一种运算S（x,y)=.问S（x,y)是否为x与y之间的一个距离？若是，请给予证明；若不是，请给出反例.

Answer 1

解：①S（x,y）=≥0当x=y时取等号.

②S（x,y）===S(y,x).

③S(x,z)==1-

=1-.

∵|x-y+y-z|≤|x-y|+|y-z|.

∴≥.

∴S（x,z）≤1-=

=+≤+=S(x,y)+S(y,z).

    故S(x,y)是x,y间的一个距离.