Question

已知曲线y=x²+2．
（1）曲线上有一点P，且过点P的切线与x轴平行，求点的P的坐标；
（2）求与曲线相切于点A，且与直线x+4y-8=0垂直的直线方程．

Answer 1

分析：（1）设点P的坐标为（x₀，y₀），由过点P的切线与x轴平行可得 2x₀=0，x₀=0．代入曲线的方程可得y₀=2，求得P（0，2）．
（2）设切点A（x₁，y₁），所求直线的斜率为k，由题意可得k=4，求得 x₁=2，代入曲线求得y₁=6，可得A的坐标，再利用点斜式求所求的直线方程．

解答：解：（1）设点P的坐标为（x₀，y₀），则切点的定义和性质可得切线的斜率为曲线在点P处的导数 2x₀，
再由过点P的切线与x轴平行可得 2x₀=0，x₀=0．代入曲线的方程可得y₀=2，故P（0，2）．
（2）设切点A（x₁，y₁），所求直线的斜率为k，由题意可得k=4．
由k=2x₁=4 解得 x₁=2，代入曲线求得y₁=6，∴A（2，6），故所求的直线方程为 y-6=4（x-2），
即4x-y-2=0．

点评：本题主要考查两直线垂直的性质，导数的几何意义，用点斜式求直线的方程，属于基础题．