Question

设非零复数x、y满足x²+xy+y²=0，则代数式(

x

x+y

)2008+(

y

x+y

)2008的值是

-1

．

Answer 1

分析：将已知方程两边同除以y²变形解得

x

y

= -

1

2

 ±

3

2

i=ω，利用ω³=1，1+ω=-ω²，及2005=3×668+1 化简原式可得答案．

解答：解：将已知方程变形为　 (

x

y

)2+

x

y

+1=0，解这个一元二次方程，
得

x

y

= -

1

2

 ±

3

2

i=ω，
显然有ω³=1，1+ω=-ω²，而 2008=3×669+1，
则原式=（

x

x+y

）²⁰⁰⁸+（

y

x+y

）²⁰⁰⁸ =

ω2008

(1+ω )2008

+

1

(1+ω )2008

=

ω

(-ω2)2008

+

1

(-ω2)2008

=-1
故答案为：-1

点评：本题考查复数乘法的棣莫弗公式的应用，实系数一元二次方程在判别式小于0时的方程的解法，本题解题的关键是理解所应用的定理，本题是一个中档题目．