题目内容

解答题

如图,P是抛物线C:y=x2上一点,直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直,l与抛物线C相交于另一点Q.

(1)

当点P的横坐标为2时,求直线l的方程;

(2)

当点P在抛物线C上移动时,求线段PQ中点M的轨迹方程.

答案:
解析:

(1)

解:把x=2代入,得y=2,∴点P坐标为(2,2).(2分)

,①得,∴过点P的切线的斜率k=2,(4分)

直线l的斜率kl=-∴直线l的方程为y-2=-(x-2),

x+2y-6=0.(6分)

(2)

  解:∵过点P的切线斜率kx0,当x0=0时不合题意,(8分)

∴直线l的斜率kl=-

直线l的方程为②(10分)

  方法一:联立①②消去y,得x2xx02-2=0.设Q

∵M是PQ的中点,

(12分)

消去x0,得y=x2(x≠0)就是所求的轨迹方程.(14分)

  方法二:

设Q

由y0x02,y1x12x(8分)

∴y0-y1x02x12(x0x1)(x0x1)=x(x0x1),(10分)

(12分)

将上式代入②并整理,得y=x2(x≠0)就是所求的轨迹方程.(14分)


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