题目内容
（2007•宝坻区二模）已知向量
=（sinB，1-cosB），且与向量
=（2，0）所成角为
，其中A，B，C是△ABC的内角．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．
| m |
| n |
| π |
| 3 |
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．
分析：（I）由
与
的夹角为
，根据锐角三角函数定义列出关系式，利用半角公式及特殊角的三角函数值化简，求出tan
的值，由B的范围，求出
的范围，利用特殊角的三角函数值求出
的度数，进而确定出B的度数，得到A+C的度数；
（II）由A+C的度数，表示出C，代入sinA+sinC中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，合并整理再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出正弦函数的值域，确定出sinA+sinC的范围即可．
| m |
| n |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| B |
| 2 |
| B |
| 2 |
（II）由A+C的度数，表示出C，代入sinA+sinC中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，合并整理再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出正弦函数的值域，确定出sinA+sinC的范围即可．
解答：解：（I）∵
=（sinB，1-cosB），且与向量
=（2，0）所成角为
，
∴
=tan
=
，
∴tan
=
，
又0＜B＜π，
∴0＜B＜
，
∴
=
，即B=
，A+C=
；…（6分）
（II）由（1）可得sinA+sinC=sinA+sin（
-A）
=sinA+
cosA-
sinA
=
sinA+
cosA=sin（A+
），
∵0＜A＜
，
∴
＜A+
＜
，
∴sin（A+
）∈（
，1]，
则sinA+sinC∈（
，1]，当且仅当A=C=
时，sinA+sinC=1．…（13分）
| m |
| n |
| π |
| 3 |
∴
| 1-cosB |
| sinB |
| π |
| 3 |
| 3 |
∴tan
| B |
| 2 |
| 3 |
又0＜B＜π，
∴0＜B＜
| π |
| 2 |
∴
| B |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（II）由（1）可得sinA+sinC=sinA+sin（
| π |
| 3 |
=sinA+
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
∵0＜A＜
| π |
| 3 |
∴
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴sin（A+
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
则sinA+sinC∈（
| ||
| 2 |
| π |
| 6 |
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，半角公式，数量积表示两向量的夹角，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
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