Question

已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1．
（1）求f（9），f（27）的值；
（2）求f（

1

4

）+f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（2）+f（3）+f（4）的值；
（3）解不等式：f（x）+f（x-8）＜2．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，能求出f（9）和f（27）．
（2）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），知f（1）=0，令y=

1

x

，则f（x•

1

x

）=f（x）+f（

1

x

）=0，由此能求出f（

1

4

）+f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（2）+f（3）+f（4）．
（3）由f（x）+f（x-8）＜2，知f（x）+f（x-8）=f[x（x-8）]＜f（9），再由函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，能求出原不等式的解集．

解答：解：（1）∵函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，
且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，
∴f（9）=f（3）+f（3）=2，
f（27）=f（9）+f（3）=2+1=3．…（2分）
（2）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0，
令y=

1

x

，则f（x•

1

x

）=f（x）+f（

1

x

）=f（1）=0，…（4分）
∴f（

1

4

）+f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（2）+f（3）+f（4）
=f（

1

4

）+f（4）+f（

1

3

）+f（3）+f（

1

2

）+f（2）=0．…（7分）
（3）∵f（x）+f（x-8）＜2，
∴f（x）+f（x-8）=f[x（x-8）]＜f（9），…（9分）
而函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，
∴

x＞0 x-8＞0 x(x-8)＜9

，解得8＜x＜9，…（11分）
即原不等式的解集为（8，9）．…（12分）

点评：本题考查抽象函数的函数值的求法，考查不等式的解法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．