Question

2．若sinα-sinβ=-$\frac{1}{3}$，cosα-cosβ=$\frac{1}{2}$，则sin（α+β）的值$\frac{12}{13}$．

Answer 1

分析 把式子两边分别平方，然后两式相加即可求出sin（α+β）的值．

解答 解：∵sinα-sinβ=-$\frac{1}{3}$…①，
cosα-cosβ=$\frac{1}{2}$…②，
两边平方得：sin²α+sin²β-2sinαsinβ=$\frac{1}{9}$，
cos²α+cos²β-2cosαcosβ=$\frac{1}{4}$；
两式相加得：2-2（sinαsinβ+cosαcosβ）=$\frac{13}{36}$，
∴cos（α-β）=sinαsinβ+cosαcosβ
=$\frac{59}{72}$．
①×②得：
cosαsinα+cosβsinβ-（sinαcosβ+cosαsinβ）=-$\frac{1}{6}$，
∴sin2α+sin2β-2sin（α+β）=-$\frac{1}{3}$
2sin（α+β）cos（α-β）-2sin（α+β）=-$\frac{1}{3}$
sin（α+β）[cos（α-β）-1]=-$\frac{1}{6}$
∴sin（α+β）=$\frac{1}{6-6cos（α-β）}$=$\frac{12}{13}$．
故答案为$\frac{12}{13}$．

点评 本题考查了两角和的正弦公式及平方关系式，解决这类题目的关键是通过分析条件式和要求解的表达式之间的关系，通过恰当的公式建立他们之间的联系．