题目内容

函数 $数学公式$ ，其中a为常数．
（1）证明：对任意a∈R，函数y=f（x）图象恒过定点；
（2）当a=1时，不等式f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，求实数b的取值范围；
（3）若对任意a∈[m，0）时，函数y=f（x）在定义域上恒单调递增，求m的最小值．

（1）证明：令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，
∴函数y=f（x）图象恒过定点（1，1）． …（2分）
（2）解：当a=1时， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
令f'（x）=0，得x=1．

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）		极小值

∴f_min（x）=f（1）=1，
∵f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，
∴-2b≥f_min（x），即-2b≥1，
∴实数b的取值范围为 $\text{[math]}$ ．…（9分）
（3）解： $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，令g（x）=x²+alnx-a，
由题意可知，对任意a∈[m，0），f'（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，
即h（x）=x²+alnx-a≥0在x∈（0，+∞）恒成立．
∵ $\text{[math]}$ ，令h'（x）=0，得 $\text{[math]}$ （舍）或 $\text{[math]}$ ．
列表如下：

x	（0， $\text{[math]}$ ）	$\text{[math]}$	（ $\text{[math]}$ ，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘	极小值	↗

∴ $\text{[math]}$ ，解得a≥-2e³．
∴m的最小值为-2e³． …（16分）
分析：（1）令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，由此可得结论；
（2）利用f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，可得-2b≥f_min（x），求出函数的最小值，即可求实数b的取值范围；
（3）对任意a∈[m，0）时，函数y=f（x）在定义域上恒单调递增，等价于对任意a∈[m，0），f'（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，即h（x）=x²+alnx-a≥0在x∈（0，+∞）恒成立，由此可得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，确定函数的最值是关键．