Question

（文科做）已知圆O：x²+y²=4，，点M（1，a）且a＞0．
（I ）若过点M有且只有一条直线/与圆O相切，求a的值及直线l的斜率，
（II ）若a=

2

，AC、BD是过点M的两条弦．
①当弦AC最短、弦BD最长时，求四边形ABCD的面积；
②若

OP

=

OA

+

OC

，求动点P的轨迹方程．

Answer 1

分析：（I）由题意，过M有且仅有一条直线l与圆O相切可知，点M（1，a）在圆上，把点M的坐标代入到圆的方程，结合a＞0可求a，进而可求切线方程y-

3

=k（x-1），由直线与圆相切可知，圆心（0，0）到直线的距离d=

| 3 -k|

1+k2

=1，可求
（II）当a=

2

时，M（1，

2

）在圆x²+y²=4内
①由于圆内弦最长的即是圆的直径即BD为直径，而AC是过M且与BD垂直的弦，此时DB=4，圆心（0，0）到直线AC的距离d=

3

，，从而可得，AC=2，S=

1

2

AC•BD
②由|

OA

|=|

OC

|=2，

OP

=

OA

+

OC

可知，以

OA

，

OB

为邻边做平行四边形OAPC，则可得OAPC为菱形，由菱形的对角线的性质可知AC，OP互相垂直平分，且M在AC上
由垂直平分线的性质可知，MP=MO=

3

，P是以M（1，

2

）为圆心，以

3

为半径的圆，从而可求

解答：解：（I）由题意，过M有且仅有一条直线l与圆O相切可知，点M（1，a）在圆上
∴1+a²=4
∵a＞0∴a=

3

则此时所做的切线方程为y-

3

=k（x-1）即kx-y+

3

-k=0
由直线与圆相切可知，圆心（0，0）到直线的距离d=

| 3 -k|

1+k2

=1
∴k=

3

3

（II）当a=

2

时，M（1，

2

）在圆x²+y²=4内
①由于圆内弦最长的即是圆的直径即BD为直径，而AC是过M且与BD垂直的弦
此时DB=4，圆心（0，0）到直线AC的距离d=

3

，
从而可得，AC=2
S=

1

2

AC•BD=

1

2

×2×4=4
②∵|

OA

|=|

OC

|=2，

OP

=

OA

+

OC

∴以

OA

，

OB

为邻边做平行四边形OAPC，则可得OAPC为菱形，
由菱形的性质可知AC，OP互相垂直平分，且M在AC上
由垂直平分线的性质可知，MP=MO=

3

P是以M（1，

2

）为圆心，以

3

为半径的圆，其方程为(x-1)2+(y-

2

)2=3

点评：本题主要考查了圆的切线性质的应用，利用点到直线的距离与半径的关系求解圆的切线，圆的弦的性质及向量加法的平行四边形法则的应用，属于综合试题