题目内容

已知椭圆C=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆CAB两点,N为弦AB的中点。

(1)求直线ONO为坐标原点)的斜率KON

(2)对于椭圆C上任意一点M ,试证:总存在角∈R)使等式:cossin成立。

(1)

(2)见解析


解析:

 (1)设椭圆的焦距为2c,因为,所以有,故有。从而椭圆C的方程可化为:      ①                     ………2分

易知右焦点F的坐标为(),

据题意有AB所在的直线方程为:   ②                     ………3分

由①,②有:         ③

,弦AB的中点,由③及韦达定理有:

 

所以,即为所求。                                    ………5分

(2)显然可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立。设,由1)中各点的坐标有:

,所以

。                                   ………7分

又点在椭圆C上,所以有整理为。           ④

由③有:。所以

   ⑤

又A﹑B在椭圆上,故有                ⑥

将⑤,⑥代入④可得:。                                ………11分

对于椭圆上的每一个点,总存在一对实数,使等式成立,而

在直角坐标系中,取点P(),设以x轴正半轴为始边,以射线OP为终边的角为,显然

也就是:对于椭圆C上任意一点M ,总存在角∈R)使等式:cossin成立。

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网