题目内容
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A,B两点,N为弦AB的中点。
(1)求直线ON(O为坐标原点)的斜率KON ;
(2)对于椭圆C上任意一点M ,试证:总存在角(∈R)使等式:=cos+sin成立。
(1)
(2)见解析
解析:
(1)设椭圆的焦距为2c,因为,所以有,故有。从而椭圆C的方程可化为: ① ………2分
易知右焦点F的坐标为(),
据题意有AB所在的直线方程为: ② ………3分
由①,②有: ③
设,弦AB的中点,由③及韦达定理有:
所以,即为所求。 ………5分
(2)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立。设,由1)中各点的坐标有:
,所以
。 ………7分
又点在椭圆C上,所以有整理为。 ④
由③有:。所以
⑤
又A﹑B在椭圆上,故有 ⑥
将⑤,⑥代入④可得:。 ………11分
对于椭圆上的每一个点,总存在一对实数,使等式成立,而
在直角坐标系中,取点P(),设以x轴正半轴为始边,以射线OP为终边的角为,显然 。
也就是:对于椭圆C上任意一点M ,总存在角(∈R)使等式:=cos+sin成立。
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