题目内容
已知椭圆C:+
=1(a>b>0)的离心率为
,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为
.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有=
+
成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.
【答案】
(Ⅰ);(Ⅱ)P(
,±
),
x±y-
=0.
【解析】
试题分析:(Ⅰ) 先利用点到直线的距离公式求,再利用离心率求
,最后利用参数的关系求
;(Ⅱ)设点利用方程组消元后得根与系数关系,然后代入题中条件化简可求.
试题解析:(Ⅰ) 设F(c,0),当l的斜率为1时,其方程为x-y-c=0,
∴O到l的距离为,
由已知,得=
,∴c=1.
由e==
,得a=
,b=
=
.
4分
(Ⅱ)假设C上存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有=
+
成立,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则P(x1+x2,y1+y2).
由(Ⅰ),知C的方程为+
=1.
由题意知,l的斜率一定不为0,故不妨设l:x=ty+1.
由,消去x并化简整理,得(2t2+3)y2+4ty-4=0.
由韦达定理,得y1+y2=-,
∴x1+x2=ty1+1+ty2+1=t(y1+y2)+2=-+2=
,
∴P(,-
).
∵点P在C上,∴+
=1,
化简整理,得4t4+4t2-3=0,即(2t2+3)(2t2-1)=0,解得t2=.
当t=时,P(
,-
),l的方程为
x-y-
=0;
当t=-时,P(
,
),l的方程为
x+y-
=0.
故C上存在点P(,±
),使
=
+
成立,此时l的方程为
x±y-
=0. 13分
考点:椭圆的基本概念,点到直线的距离,根与系数关系,设而不求的思想.

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