Question

3．函数f（x）=$\frac{{x}^{2}-x}{2x+1}$的值域是（-∞，-1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪[-1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 先设y=f（x），然后将y=$\frac{{x}^{2}-x}{2x+1}$变成x²-（2y+1）x-y=0，可将该式看成关于x的一元二次方程，方程有解，从而根据△≥0即可得出原函数的值域．

解答 解：设y=f（x），则y=$\frac{{x}^{2}-x}{2x+1}$，该式可变成x²-（2y+1）x-y=0；
上式可看成关于x的一元二次方程，方程有解；
∴△=（2y+1）²+4y≥0；
解得y$≤-1-\frac{\sqrt{3}}{2}$，或y$≥-1+\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴原函数的值域为$（-∞，-1-\frac{\sqrt{3}}{2}]∪[-1+\frac{\sqrt{3}}{2}，+∞）$．
故答案为：（-∞，-1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪[-1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）．

点评 考查形如$y=\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的函数值域的求法：将函数变成关于x的方程，由方程有解求出原函数的值域，解一元二次不等式．