题目内容

[已知数列{an}满足:a1=-
1
2
,a2=1,数列{
1
an
}
为等差数列;数列{bn}中,Sn为其前n项和,且b1=
3
4
4nSn+3n+1=3•4n
(1)求证:数列{bn}是等比数列;
(2)记An=anan+1,求数列{An}的前n项和S;
(3)设数列{cn}满足cn=
bn
an
,Tn为数列{cn}的前n项和,求xn=Tn+1-2Tn+Tn-1的最大值.
分析:(1)根据给出的数列{bn}的前n项和所满足的等式,求出Sn,然后由bn=
S1(n=1)
Sn-Sn-1(n≥2)
求出通项,继而可说明数列{bn}是等比数列;
(2)由数列{
1
an
}
为等差数列求出数列{an}的通项公式,然后运用裂项法求数列{An}的前n项和S;
(3)把an,bn的通项公式代入求cn,把xn=Tn+1-2Tn+Tn-1变形后换上cn,得到关于n的函数式,写出Xn+1,与Xn作差后分析差式的单调性,从而得到Xn的最大值.
解答:解:(1)由4nSn+3n+1=3•4n得,Sn=3-3•(
3
4
)n
,当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=(
3
4
)n
,又b1=
3
4
,故bn=(
3
4
)n
,故数列{bn}是等比数列;
(2)∵a1=-
1
2
a2=1
,∴
1
a1
=-2
1
a2
=1
,∴d=
1
a2
-
1
a1
=1-(-2)
=3,∴
1
an
=-2+(n-1)•3=3n-5
,则an=
1
3n-5

An=
1
(3n-5)(3n-2)
=
1
3
(
1
3n-5
-
1
3n-2
)

S=
1
3
[(-
1
2
-1)+(1-
1
4
)+(
1
4
-
1
7
)+…+(
1
3n-5
-
1
3n-2
)]=
1
3
(-
1
2
-
1
3n-2
)=
-n
6n-4

(3)∵cn=(3n-5)•(
3
4
)n

xn=Tn+1-2Tn+Tn-1=(Tn+1-Tn)-(Tn-Tn-1)=cn+1-cn=(
3
4
)n(
14-3n
4
)

xn+1-xn=(
3
4
)n+1(
11-3n
4
)-(
3
4
)n(
14-3n
4
)=(
3
4
)n(
3n-23
16
)

故当n≤7时,{xn}是递减的,当n≥8时,{xn}是递增的,但n≥8时,xn<0
故xn的最大值为x1=(
3
4
)•(
11
4
)=
33
16
点评:本题是等差数列和等比数列的综合题,考查了裂项法对数列求和,(3)的解答运用函数思想,借助于函数的单调性分析出了函数取最大值时的n的值,该题是中档以上难度题型.
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