题目内容
如图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕点C旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动．当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处，设连杆AB长为lmm，曲柄CB长为rmm，l＞r
（1）若l=300mm，r=80mm，当曲柄CB按顺时针方向旋转角为θ时，连杆的端点A此时离A0的距离为A0A=110mm，求cosθ的值；
（2）当曲柄CB按顺时针方向旋转角θ为任意角时，试用l，r和θ表示活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）
（1）若l=300mm，r=80mm，当曲柄CB按顺时针方向旋转角为θ时，连杆的端点A此时离A0的距离为A0A=110mm，求cosθ的值；
（2）当曲柄CB按顺时针方向旋转角θ为任意角时，试用l，r和θ表示活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）
分析：（1）由A0A的长求出AC的长，再由AB，BC的长，利用余弦定理即可求出cosθ的值；
（2）设AC=x，若θ=0，则A0A=0；若θ=π，则A0A=2r，若0＜θ＜π时，在△ABC中，由余弦定理得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AC的长，由A0C-AC即可求出A0A的长．
（2）设AC=x，若θ=0，则A0A=0；若θ=π，则A0A=2r，若0＜θ＜π时，在△ABC中，由余弦定理得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AC的长，由A0C-AC即可求出A0A的长．
解答：解：（1）由已知当A0A=110mm时，可得AC=300+80-110=270（mm），
又AB=l=300mm，BC=r=80mm，
∴cosθ=
=
=
；
（2）设AC=xmm，若θ=0，则A0A=0mm；若θ=π，则A0A=2rmm，
若0＜θ＜π时，在△ABC中，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2-2AC•BCcosC，
即x2-2（rcosθ）x-（l2-r2）=0，
解得：x1=rcosθ+
=rcosθ+
（mm），
x2=rcosθ-
＜0（不合题意，舍去），
∴A0A=A0C-AC=l+r-rcosθ-
（mm），
∴当θ为任意角时，有A0A=l+r-rcosθ-
（mm）．
又AB=l=300mm，BC=r=80mm，
∴cosθ=
| AC2+BC2-AB2 |
| 2AC•BC |
| 2702+802-3002 |
| 2×270×80 |
| 107 |
| 432 |
（2）设AC=xmm，若θ=0，则A0A=0mm；若θ=π，则A0A=2rmm，
若0＜θ＜π时，在△ABC中，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2-2AC•BCcosC，
即x2-2（rcosθ）x-（l2-r2）=0，
解得：x1=rcosθ+
| (rcosθ)2+l2-r2 |
| l2-r2sin2θ |
x2=rcosθ-
| (rcosθ)2+l2-r2 |
∴A0A=A0C-AC=l+r-rcosθ-
| l2-r2sin2θ |
∴当θ为任意角时，有A0A=l+r-rcosθ-
| l2-r2sin2θ |
点评：此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
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