Question

如图所示，放置在水平面上的组合体由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁与正三棱锥B-ACD组成，其中，AB⊥BC，AB=

2

，BB₁=2．
（1）求直线CA₁与平面ACD所成角的正弦值；
（2）在线段AC₁上是否存在点P，使B₁P⊥平面ACD？若存在，确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）以点B为原点，分别以BC、BB₁、BA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACD的法向量，进而可利用夹角公式求出直线CA₁与平面ACD所成角的正弦；
（2）假设存在，令

AP

=m

AC1

=（

2

m，2m，-

2

m），利用

B1P

∥

n

，即可得到结论．

解答：解：（1）由题意，AB⊥平面BB₁C₁C，CD?平面BB₁C₁C，
∴D，B，B₁三点共线，
∵三棱锥是正三棱锥，
∴AB=BC=BD，
以点B为坐标原点，射线BC，BB₁，BA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，

2

），C（

2

，0，0），D（0，-

2

，0），B₁（0，2，0），C₁（

2

，2，0），A₁（0，2，

2

）
设直线CA₁与平面ACD所成角为θ
∵△ACD的重心G（

2

3

，-

2

3

，

2

3

），∴

BG

=（

2

3

，-

2

3

，

2

3

），
∴取

n

=（1，-1，1）为平面ACD的法向量
∵

CA1

=（-

2

，2，

2

），
∴取

m

=(1，-

2

，-1)为直线CA₁的方向向量
∴sinθ=|cos＜

m

，

n

＞|=

m • n

| m || n |

=

2

2 3

=

6

6

；
（2）令

AP

=m

AC1

=（

2

m，2m，-

2

m），
则

B1P

=

B1A

+

AP

=(

2

m，2m-2，

2

-

2

m)
∵

B1P

∥

n

，∴

B1P

=λ

n

∴

2 m=λ① 2m-2=-λ② 2 - 2 m=λ③

，无解
∴不存在满足条件的点P．

点评：本题以组合体为载体，考查线面角，考查线面垂直，关键是构建空间直角坐标系．