题目内容

已知函数f(x)满足f(x)=2f(
1
x
)
,当x∈[1,3]时,f(x)=lnx,若在区间[
1
3
,3]
内,函数g(x)=f(x)-ax,有三个不同的零点,则实数a的取值范围是(  )
A.[
ln3
3
1
e
)
B.[
ln3
3
2
e
)
C.(0,
1
2e
)
D.(0,
1
e
)
在区间[
1
3
,3]
内,函数g(x)=f(x)-ax,有三个不同的零点,
①a>0若x∈[1,3]时,f(x)=lnx,可得g(x)=lnx-ax,(x>0)
g′(x)=
1
x
-a=
1-ax
x

若g′(x)<0,可得x>
1
a
,g(x)为减函数,
若g′(x)>0,可得x<
1
a
,g(x)为增函数,
此时f(x)必须在[1,3]上有两个交点,
g(
1
a
)>0
g(3)≤0
g(1)≤0
,解得,
ln3
3
≤a<
1
e

1
3
<x<1,可得1<
1
x
<3,
f(x)=2f(
1
x
)
=2ln
1
x
,此时g(x)=-2lnx-ax,
g′(x)=-
2+ax
x

若g′(x)>0,可得x<-
1
a
<0,g(x)为增函数
若g′(x)<0,可得x>-
1
a
,g(x)为减函数,
在[
1
3
,1]上有一个交点,则
g(-
2
a
)>0
g(
1
3
)≥0
g(1)≤0
,解得0<a≤6ln3②
综上①②可得
ln3
3
≤a<
1
e

②若a<0,对于x∈[1,3]时,g(x)=lnx-ax>0,没有零点,不满足在区间[
1
3
,3]
内,函数g(x)=f(x)-ax,有三个不同的零点,
综上:
ln3
3
≤a<
1
e

故选A;
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