Question

若(

x

+

1

2 4 x

)n展开式中前三项系数成等差数列，求：
（1）展开式中含x的一次幂的项的二项式系数；
（2）展开式中的有理项；
（3）展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析：（1）由展开式中前三项系数成等差数列，求得n=8．求得展开式的通项公式为 T_r+1=2^-r•

C

r 8

•x

16-3r

4

．再令x的幂指数等于1，求得 r的值，可得展开式中含x的一次幂的项的二项式系数．
（2）令x的幂指数为整数，求得r的值，展开式中的有理项．
（3）设第k项的系数最大，则有

C k-1 8 •2-k+1 ≥C k 8 •2-k C k-1 8 •2-k+1 ≥C k-1 8 •2-k+2

，解得k的范围，再结合通项公式以及k为整数，求得展开式中系数最大的项．

解答：解：（1）由题意可得

C

0 n

+

C

2 n

•

1

4

=2•

C

1 n

•

1

2

，解得n=8．
故展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 8

•x

8-r

2

•2^-r•x-

r

4

=2^-r•

C

r 8

•x

16-3r

4

．
令

16-3r

4

=1，求得 r=4，故展开式中含x的一次幂的项的二项式系数为

C

4 8

=70．
（2）令

16-3r

4

为整数，可得 r=0，4，8，
当 r=0时，T₁=x⁴； 当 r=4时，T₅=

35

8

x； 当 r=8时，T₉=

1

256

•x^-2．
（3）设第k项的系数最大，则有

C k-1 8 •2-k+1 ≥C k 8 •2-k C k-1 8 •2-k+1 ≥C k-1 8 •2-k+2

，解得 3≤k≤4，
故系数最大的项为第三项T₃=7x

5

2

 和 第四项T₄=7x

7

4

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，组合数的计算公式的应用，属于中档题．