Question

12．定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，则x∈[2，3]时，f（x）=x²-4x+4．

Answer 1

分析 由f（x+1）=$-\frac{1}{f（x）}$便可得到f（x+2）=f（x），从而函数f（x）为以2为周期的周期函数．要求x∈[2，3]时的f（x）解析式，可设x∈[2，3]，从而有x-2∈[0，1]，这样便可带入[0，1]上的f（x）解析式，根据周期为2即可得出f（x）在[2，3]上的解析式．

解答 解：根据条件，f（x）=$-\frac{1}{f（x+1）}=f（x+2）$；
∴函数f（x）的周期为2；
设x∈[2，3]，则x-2∈[0，1]；
∴f（x-2）=（x-2）²=f（x）；
即x∈[2，3]时，f（x）=x²-4x+4．
故答案为：x²-4x+4．

点评 考查周期函数的定义，通过本题掌握已知一区间上的f（x）解析式，求另一区间上f（x）解析式的方法：将变量x的范围变到已知区间上．