Question

16．过点M（0，1）的直线l交曲线x²+y²=4于A，B两点，O是坐标原点，l上的动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），当l饶点M旋转时，求动点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 设出动点P、A、B的坐标，利用向量求得坐标之间的关系，当直线l的斜率不存在时，可得P（0，0）；当直线l的斜率存在时，设过定点（0，1）的直线L：y=kx+1，代入x²+y²=4，可得x=-$\frac{k}{1+{k}^{2}}$，y=$\frac{1}{1+{k}^{2}}$，消去参数k即可得出结论．

解答 解：设动点P（x，y）及圆上点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），得（x，y）=$\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}，{y}_{1}+{y}_{2}）$，
当直线l的斜率不存在时，P（0，0）；
当直线l的斜率存在时，设过定点（0，1）的直线l：y=kx+1，
代入x²+y²=4，可得（1+k²）x²+2kx-3=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2k}{1+{k}^{2}}$，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2=\frac{-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}+2=\frac{2}{1+{k}^{2}}$，
∴x=-$\frac{k}{1+{k}^{2}}$，y=$\frac{1}{1+{k}^{2}}$，
消去参数k得：x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（y≠0）．
验证（0，0）满足上式，
∴动点P的轨迹方程为x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$．
故答案为：x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查轨迹方程，解题的关键是确定动点坐标之间的关系，利用消参法求轨迹方程，是中档题．