Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）求函数在区间上的值域；

（3）若，过原点分别作曲线的切线、，且两切线的斜率互为倒数，求证：.

Answer 1

【答案】（1）的增区间为，减区间为；（2）答案见解析；（3）见解析.

【解析】

(1)首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的解析式可得函数的单调区间；

(2)首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的解析式分类讨论确定函数的单调性，由函数的单调性可得函数的值域；

(3)首先确定函数的切线方程，据此确定函数的切线方程满足的条件，得到关于横坐标的函数解析式，据此构造函数，求导之后分类讨论即可证得题中的结论.

（1）当时，，定义域为.

令，得增区间为；令，得减区间为.

（2）.

当时，，在上为增函数，故，

从而的值域为；

当时，，在上为减函数，故，

从而的值域为；

当时，时，，递增；，，递减

故的最大值为；最小值为与中更小的一个，

当时，最小值为；

当时，，最小值为.

综上所述，当时，值域为；

当时，值域为；

当时，值域为；

当时，值域为.

（3）设切线对应切点为，切线方程为，

将代入，解得，从而.

设与曲线的切点为，解得①

切线方程为，将代入，得②

将①代入②，得，

令，则，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

若，由，则.

而在上单调递减，故；

若，因在区间上单调增，且，

所以，与题设矛盾，故不可能.

综上所述，.