Question

如图所示在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在线段AD₁上运动，给出以下四个命题：
①异面直线C₁P和CB₁所成的角为定值；
②二面角P-BC₁-D的大小为定值；
③三棱锥D-BPC₁的体积为定值；
④直线CP与直线ABC₁D₁所成的角为定值．
其中真命题的个数为（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：对于①由题意及图形利用异面直线所成角的概念及求异面直线间的方法及可求解；
对于②由题意及平面具有延展性可知实质为平面ABC₁D₁与平面BDC₁所成的二面角；
对于③由题意及三棱锥的体积的算法中可以进行顶点可以轮换性求解体积，和点P的位置及直线AD₁与平面BDC₁的位置即可判断正误；
对于④有直线与平面的夹角的定义，求出线面夹角，即可判断出答案．
解答：解：对于①因为在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在线段AD₁上运动，有正方体的及题意易有B₁C⊥平面ABC₁D₁，而C₁P?平面ABC₁D₁，所以B₁C⊥C₁P，故这两个异面直线所成的角为定值90°，所以①正确；
对于②因为二面角P-BC₁-D的大小，实质为平面ABC₁D₁与平面BDC₁所成的二面角而这两的平面为固定的不变的平面所以夹角也为定值，故②正确；
对于③三棱锥D-BPC₁的体积还等于三棱锥的体积P-DBC₁的体积，而平面DBC₁为固定平面且大小一定，又因为P∈AD₁，而AD₁∥平面BDC₁，所以点A到平面DBC₁的距离即为点P到该平面的距离，所以三棱锥的体积为定值，故③正确；
对于④由线面夹角的定义，令BC₁与B₁C的交点为O，可得∠CPO即为直线CP与平面ABC₁D₁所成的角，当P移动时这个角是变化的，故④错误；
故选C
点评：对于①重点考查了异面直线所成角的概念及求异面直线间的方法；
对于②重点考查了平面具有延展性及二面角的求法及其定义；
对于③重点考查了三棱锥的体积的体积计算可以进行顶点轮换及线面平行时，直线上任意一点到平面的距离都行等这一结论；
对于④重点考查了直线与平面的夹角，其中求出线面夹角的平面角是解答的关键．．