题目内容

已知函数f(x)=log
1
2
[x2-2(2a-1)x+8](a∈R)
(1)若使函数f(x)在[a,+∞﹚上为减函数,求a的取值范围;
(2)当a=
3
4
时,求y=f(sin(2x-
π
3
)
),x∈[
π
12
π
2
]的值域.
(3)若关于x的方程f(x)=-1+log
1
2
(x+3)
在[1,3]上有且只有一解,求a的取值范围.
分析:(1)利用函数f(x)在[a,+∞﹚上为减函数,建立不等式组,即可求a的取值范围;
(2)确定y=f(sin(2x-
π
3
)
),结合三角函数、对数函数的性质,即可求函数的值域;
(3)原方可化为x2-2(2a-1)x+8=2x+6>0,即4a=x+
2
x
,x∈[1,3],根据在[1,3]上有且只有一解,即可得出结论.
解答:解:(1)∵函数f(x)在[a,+∞﹚上为减函数,
2a-1≤a
a2-2(2a-1)a+8>0

-
4
3
<a≤1

(2)当a=
3
4
时,f(x)=log
1
2
(x2-x+8)

∴y=f(sin(2x-
π
3
)
)=log
1
2
[sin(2x-
π
3
)-
1
2
]2+
31
4

∵x∈[
π
12
π
2
],∴-
π
6
2x-
π
3
3
,∴-
1
2
≤sin(2x-
π
3
)≤1
∴函数的值域为[log
1
2
10,log
1
2
35
4
];
(3)原方可化为x2-2(2a-1)x+8=2x+6>0,
4a=x+
2
x
,x∈[1,3],由双勾图形可知:3<4a≤
11
3
或4a=2
2

3
4
<a≤
11
12
或a=
2
2
点评:本题考查函数的单调性,函数的值域,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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