题目内容
已知函数f(x)=log
[x2-2(2a-1)x+8](a∈R)
(1)若使函数f(x)在[a,+∞﹚上为减函数,求a的取值范围;
(2)当a=
时,求y=f(sin(2x-
)),x∈[
,
]的值域.
(3)若关于x的方程f(x)=-1+log
(x+3)在[1,3]上有且只有一解,求a的取值范围.
1 |
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(1)若使函数f(x)在[a,+∞﹚上为减函数,求a的取值范围;
(2)当a=
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4 |
π |
3 |
π |
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π |
2 |
(3)若关于x的方程f(x)=-1+log
1 |
2 |
分析:(1)利用函数f(x)在[a,+∞﹚上为减函数,建立不等式组,即可求a的取值范围;
(2)确定y=f(sin(2x-
)),结合三角函数、对数函数的性质,即可求函数的值域;
(3)原方可化为x2-2(2a-1)x+8=2x+6>0,即4a=x+
,x∈[1,3],根据在[1,3]上有且只有一解,即可得出结论.
(2)确定y=f(sin(2x-
π |
3 |
(3)原方可化为x2-2(2a-1)x+8=2x+6>0,即4a=x+
2 |
x |
解答:解:(1)∵函数f(x)在[a,+∞﹚上为减函数,
∴
∴-
<a≤1;
(2)当a=
时,f(x)=log
(x2-x+8)
∴y=f(sin(2x-
))=log
[sin(2x-
)-
]2+
,
∵x∈[
,
],∴-
≤2x-
≤
,∴-
≤sin(2x-
)≤1
∴函数的值域为[log
10,log
];
(3)原方可化为x2-2(2a-1)x+8=2x+6>0,
即4a=x+
,x∈[1,3],由双勾图形可知:3<4a≤
或4a=2
,
即
<a≤
或a=
.
∴
|
∴-
4 |
3 |
(2)当a=
3 |
4 |
1 |
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∴y=f(sin(2x-
π |
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π |
3 |
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31 |
4 |
∵x∈[
π |
12 |
π |
2 |
π |
6 |
π |
3 |
2π |
3 |
1 |
2 |
π |
3 |
∴函数的值域为[log
1 |
2 |
1 |
2 |
35 |
4 |
(3)原方可化为x2-2(2a-1)x+8=2x+6>0,
即4a=x+
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x |
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3 |
2 |
即
3 |
4 |
11 |
12 |
| ||
2 |
点评:本题考查函数的单调性,函数的值域,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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