Question

已知椭圆的方程为，其右焦点为F，A₁、A₂为椭圆的左右顶点，双曲线的顶点与椭圆的左右顶点重合，其渐近线过原点且与以点F为圆心长为半径的圆相切．

(Ⅰ)求双曲线的方程；

(Ⅱ)是否存在过点F的直线，使l被椭圆截得的弦长等于l被双曲线截得的弦长，若存在，求出所有l的方程，若不存在说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)可得F(2，0) 　　∴圆的方程为 　　设双曲线的方程为，其渐近线为即 　　由圆与渐近线相切可得，解得 　　∴双曲线的方程为　5分 　　(2)设存在满足题意，且方程为，交椭圆于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，交双曲线于点C(x3，y3)、D(x4，y4)， 　　由得 　　∴ 　　　8分 　　由得 　　可得 　　∴且， 　　　11分 　　由题意有|AB|2＝|CD|2，即， 　　解得，都满足 　　∴存在三条这样的直线：　14分