题目内容

已知椭圆的方程为,其右焦点为F,A1、A2为椭圆的左右顶点,双曲线的顶点与椭圆的左右顶点重合,其渐近线过原点且与以点F为圆心长为半径的圆相切.

(Ⅰ)求双曲线的方程;

(Ⅱ)是否存在过点F的直线,使l被椭圆截得的弦长等于l被双曲线截得的弦长,若存在,求出所有l的方程,若不存在说明理由.

答案:
解析:

  解:(1)可得F(2,0)

  ∴圆的方程为

  设双曲线的方程为,其渐近线为

  由圆与渐近线相切可得,解得

  ∴双曲线的方程为 5分

  (2)设存在满足题意,且方程为,交椭圆于点A(x1,y1)、B(x2,y2),交双曲线于点C(x3,y3)、D(x4,y4),

  由

  ∴

   8分

  由

  可得

  ∴

   11分

  由题意有|AB|2=|CD|2,即

  解得,都满足

  ∴存在三条这样的直线: 14分


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