题目内容
【题目】如图(1),在平面五边形中,已知四边形
为正方形,
为正三角形.沿着
将四边形
折起得到四棱锥
,使得平面
平面
,设
在线段
上且满足
,
在线段
上且满足
,
为
的重心,如图(2).
(1)求证:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)取的中点
,
的中点
,连接
,可知
三点共线,
三点共线.,因而可得
为
的重心,再利用线面平行的判定,及可证出;
(2)根据条件,通过面面垂直的性质,证出平面
,建立空间直角坐标系,标点,求
及平面
的法向量为
,通过利用空间向量法求出线面角.
(1)如图,取的中点
,
的中点
,连接
.
由已知易得三点共线,
三点共线.
因为,
,所以
.
又为
的重心,所以
,
所以.
因为平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)在中,因为
为
的中点,所以
.
因为平面平面
,平面
平面
,
平面
,
所以平面
.
由(1)得,.
所以两两垂直,如图,
分别以射线的方向为
轴的正方向建立空间直角坐标系
.
设,因为
,
,所以
,
所以,
.
所以,
,
,
.
所以,
,
.
设平面的法向量为
,则
所以令
,则
,所以可取
.
设直线与平面
所成的角为
,则
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2018年6月14日,世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕,世界杯给俄罗斯经济带来了一定的增长,某纪念商品店的销售人员为了统计世界杯足球赛期间商品的销售情况,随机抽查了该商品商店某天200名顾客的消费金额情况,得到如图频率分布表:将消费顾客超过4万卢布的顾客定义为”足球迷”,消费金额不超过4万卢布的顾客定义为“非足球迷”。
消费金额/万卢布 | 合计 | ||||||
顾客人数 | 9 | 31 | 36 | 44 | 62 | 18 | 200 |
(1)求这200名顾客消费金额的中位数与平均数(同一组中的消费金额用该组的中点值作代表;
(2)该纪念品商店的销售人员为了进一步了解这200名顾客喜欢纪念品的类型,采用分层抽样的方法从“非足球迷”,“足球迷”中选取5人,再从这5人中随机选取3人进行问卷调查,则选取的3人中“非足球迷”人数的分布列和数学期望。
【题目】2018年非洲猪瘟在东北三省出现,为了进行防控,某地生物医药公司派出技术人员对当地甲乙两个养殖场提供技术服务,方案和收费标准如下:
方案一,公司每天收取养殖场技术服务费40元,对于需要用药的每头猪收取药费2元,不需要用药的不收费;
方案二,公司每天收取养殖场技术服务费120元,若需要用药的猪不超过45头,不另外收费,若需要用药的猪超过45头,超过部分每天收取药费8元.
(1)设日收费为(单位:元),每天需要用药的猪的数量为
,试写出两种方案中
与
的函数关系式.
(2)若该医药公司从10月1日起对甲养殖场提供技术服务,10月31日该养殖场对其中一个猪舍9月份和10月份猪的发病数量进行了统计,得到如下列联表.
9月份 | 10月份 | 合计 | |
未发病 | 40 | 85 | 125 |
发病 | 65 | 20 | 85 |
合计 | 105 | 105 | 210 |
根据以上列联表,判断是否有的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关.
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
(3)当地的丙养殖场对过去100天猪的发病情况进行了统计,得到如上图所示的条形统计图.依据该统计数据,从节约养殖成本的角度去考虑,若丙养殖场计划结合以往经验从两个方案中选择一个,那么选择哪个方案更合适,并说明理由.