题目内容
在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧棱是底面边长的2倍，P是侧棱CC1上的任一点．
(1)求证：不论P在侧棱CC1上何位置，总有BD⊥AP；
(2)若CC1=3C1P，求平面AB1P与平面ABCD所成二面角的余弦值；
(3)当P点在侧棱CC1上何处时，AP在平面B1AC上的射影是∠B1AC的平分线．
答案：
解析：
解析：
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解(1)由题意可知，不论P点在棱CC1上的任何位置，AP在底面ABCD内射影都是AC， (2)延长B1P和BC，设B1P∩BC=M，连结AM，则AM=平面AB1P∩平面ABCD． 过B作BQ⊥AM于Q，连结B1Q，由于BQ是B1；Q在底面ABCD内的射影，所以B1Q⊥AM，故∠B1QB就是所求二面角的平面角，依题意，知CM=2B1C1，从而BM=3BC． 所以
(3)设CP=a，BC=m，则BB1=2m，C1P=2m－a，从而
在 依题意，得
即
故P距C点的距离是侧棱的 别解：如图，建立空间直角坐标系．
设
依题意，得 即 故P距C点的距离是侧棱的 |
， 
. 在
中，
，
得
为所求．
. 
．
．
练习册系列答案
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如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，棱长AA1=2，AB=1，E是AA1的中点．
在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为CC1的中点．
如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，M、N分别为B1B和A1D的中点．
（2012•长宁区一模）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知底面ABCD的边长为2，点P是CC1的中点，直线AP与平面BCC1B1成30°角，求异面直线BC1和AP所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
（2012•昌平区二模）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为AD中点，F为B1C1中点．