Question

13．设函数f（x）=|x-a|+1，a∈R
（1）当a=4时，解不等式f（x）＜1+|2x+1|
（2）若f（x）≤2的解集为[0，2]，$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=a（m＞0，n＞0）求证：m+2n≥3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 对第（1）问，将a=3代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；
对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）”，展开后利用基本不等式可完成证明．

解答 （1）解：当a=4时，不等式f（x）＜1+|2x+1|即为|x-4|＜|2x+1|
|①当x≥4时，原不等式化为x-4＜2x+1，得x＞-5，故x≥4；
②当-$\frac{1}{2}$≤x＜4时，原不等式化为4-x＜2x+1，得x＞1，故1＜x＜4；
③当x＜-$\frac{1}{2}$时，原不等式化为4-x＜-2x-1，得x＜-5，故x＜-5．
综合①、②、③知，原不等式的解集为（-∞，-5）∪（1，+∞）；
（2）证明：由f（x）≤2得|x-a|≤1，从而-1+a≤x≤1+a，
∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+a=0}\\{1+a=2}\end{array}\right.$得a=1，∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$═a=1．
又m＞0，n＞0，
∴m+2n=（m+2n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=）=3+（$\frac{2n}{m}$+$\frac{m}{n}$）≥3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当m=1+$\sqrt{2}$，n=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，取等号，故m+2n≥3+2$\sqrt{2}$，得证

点评 1．已知不等式的解集求参数的值，求解的一般思路是：先将原不等式求解一遍，再把结果与已知解集对比即可获得参数的值．
2．本题中，“1”的替换很关键，这是解决此类题型的一种常用技巧，应注意体会证明过程的巧妙性．