题目内容
如图，平面四边形
的4个顶点都在球
的表面上，
为球的直径，
为球面上一点，且
平面 ，
，点
为
的中点.
(1) 证明：平面
平面
；
(2) 求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
的4个顶点都在球的表面上，为球的直径，为球面上一点，且平面 ，，点为的中点. (1) 证明：平面
平面；(2) 求平面
与平面所成锐二面角的余弦值.(1)详见解析；（2）
试题分析：本小题通过立体几何的相关知识，具体涉及到直线与直线垂直的判断、线面的平行关系的判断以及二面角的求法等有关知识，考查考生的空间想象能力、推理论证能力，对学生的数形结合思想的考查也有涉及，本题是一道立体几何部分的综合题，属于中档难度试题. （1）借助几何体的性质，得到
，借助线面平行的判定定理得到线面平行，进而利用面面平行的判定定理证明平面平面；（2）利用空间向量的思路，建立坐标系，明确各点坐标，求解两个半平面的法向量，进而利用向量的夹角公式求解二面角的平面角.试题解析：(1) 证明：
且
，则
平行且等于
，即四边形
为平行四边形，所以.
(6分)(2) 以
为原点，
方向为
轴，以平面内过点且垂直于方向为
轴以
方向为
轴，建立如图所示坐标系.
则
，
，
，
，
，由
，
，可知
由
，
，可知
则
，因此平面
与平面所成锐二面角的余弦值为. (12分)
练习册系列答案
相关题目
中，面
面
，底面
∥
，
，
，
．
的位置关系；
的体积；
是线段
上一点，当
//平面
时，求
的长.
的底面是直角梯形，
，
，
和
是两个边长为
的正三角形，
，
为
的中点，
为
的中点．
平面
；
平面
；
与平面
中，底面
为正方形，
面
，
，点
在棱
上，且
．
上确定一点
，使得直线
平面
，并证明；
在底面
，请说明点
长度的最小值．
BE，AB
表示三棱锥B－ACE 的体积，求
与平面
平行的是（ ）
和平面
， 则下列命题正确的是
∥
，
，则
、
是两条不同的直线，
、
是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（ ）
∥
∥
，
∥
