Question

14．设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）图象的一个对称中心是（$\frac{π}{8}$，0）．
（1）求φ的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）将（$\frac{π}{8}$，0）代入可得φ=kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，结合-π＜φ＜0，可得φ的值；
（2）由2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）∵y=f（x）图象的一个对称中心是（$\frac{π}{8}$，0）．
∴sin（2×$\frac{π}{8}$+φ）=0，
∴2×$\frac{π}{8}$+φ=kπ，k∈Z，
∴φ=kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，
又∵-π＜φ＜0，
∴φ=-$\frac{π}{4}$；
（2）由（1）得函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{4}$），
由2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：
x∈[-$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{3π}{8}$+kπ]，k∈Z
即f（x）的单调递增区间为[-$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{3π}{8}$+kπ]，k∈Z．

点评 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的图象和性质，是解答的关键．