Question

过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．

(1)求椭圆的“左特征点”M的坐标；

(2)试根据(1)中的结论猜测：椭圆的“左特征点”M是一个怎样的点？并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设为椭圆的左特征点，椭圆的左焦点为，可设直线的方程为．并将它代入得：，即．设，则， 　　∵被轴平分，∴．即． 　　即，∴． 　　于是．∵，即． 　　(2)对于椭圆．于是猜想：椭圆的“左特征点”是椭圆的左准线与轴的交点． 　　证明：设椭圆的左准线与轴相交于M点，过A，B分别作的垂线，垂足分别为C，D． 　　据椭圆第二定义：∵ 　　于是即．∴，又均为锐角，∴，∴． 　　∴的平分线．故M为椭圆的“左特征点”